A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

Som reduceres
4. KOORDINATSKIFT 103
0 ≤ θ ≤ π, 1 ≤ r ≤ 2
4.12. Cirkelring ☞ [S] 12.4 Double integrals in polar . . .
Eksempel 1
Halvcirkelringen
R = {(x,y)|0 ≤ y, 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4}
er det polære rektangel
{(r,θ)|1 ≤ r ≤ 2,0 ≤ θ ≤ π}
4.13. Cirkelring ☞ [S] 12.4 Double integrals in polar coordinates
Eksempel 1 - figur
y
2
{(r,θ)|1 ≤ r ≤ 2,0 ≤ θ ≤ π}
1 2
4.14. Integral over en cirkelring ☞ [S] 12.4 Double integrals in polar . . .
Eksempel 1 - fortsat
Givet funktionen
f(x,y) = 3x + 4y 2
på halvcirkelringen
I polære koordinater er
R = {(x,y)|0 ≤ y, 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4}
f(r cos θ,r sinθ) = 3r cos θ + 4(r sinθ) 2
4.15. Integral over en cirkelring ☞ [S] 12.4 Double integrals in polar . . .
Eksempel 1 - fortsat
Dobbeltintegralet over
{(r,θ)|1 ≤ r ≤ 2,0 ≤ θ ≤ π}
beregnes ved polært koordinatskift
β b
f(x,y)dA = f(r cos θ,r sinθ)rdr dθ
Det itererede integral
R
R
π
f(x,y)dA =
0
α
a
2
(3r cos θ + 4r
1
2 sin 2 θ)rdr dθ
x