A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

102 II. INTEGRATION
Areal af {(r,θ)|a ≤ r ≤ b,α ≤ θ ≤ β} er
y
1
2 (β − α)(b2 − a 2 ) =
(r,θ)=( a+b α+β
2 , 2 )
x
a + b
(b − a)(β − α)
2
4.8. Polær inddeling ☞ [S] 12.4 Double integrals in polar coordinates
Definition
a = r0 ≤ · · · ≤ ri−1 ≤ r ∗ i ≤ ri ≤ · · · ≤ rm = b
α = θ0 ≤ · · · ≤ θj−1 ≤ θ ∗ j ≤ θj ≤ · · · ≤ θn = β
inddeler det polære rektanglet R = [a,b] × [α,β] i brikker med midtpunkter og areal
r ∗ i = ri−1 + ri
, θ
2
∗ j = θj−1 + θj
2
∆A = 1
2 (ri + ri−1)(ri − ri−1)(θj − θj−1) = r ∗ i ∆r∆θ
4.9. Polær Riemann sum ☞ [S] 12.4 Double integrals in polar coordinates
Bemærkning
Den dobbelte Riemannsum af en funktion f : R → R er
m n
1
i=1 j=1
f(x ∗ i ,y ∗ j)∆A =
m
n
i=1 j=1
f(r ∗ i cos θ ∗ j,r ∗ i sin θ ∗ j)r ∗ i ∆r∆θ
4.10. Lagkageområde, integral ☞ [S] 12.4 Double integrals in polar . . .
2 Sætning (Polært koordinatskift)
For f kontinuert på det polœre rektangel
er integralet et itereret integral
R
R = {(r,θ)|a ≤ r ≤ b,α ≤ θ ≤ β}
β b
f(x,y)dA = f(r cos θ,r sinθ)rdr dθ
α
a
4.11. Cirkelring ☞ [S] 12.4 Double integrals in polar . . .
Eksempel 1
Halvcirkelringen
R = {(x,y)|0 ≤ y, 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4}
beskrives i polære koordinater ved
x = r cos θ, y = r sinθ
0 ≤ r sin θ, 1 ≤ (r cos θ) 2 + (r sin θ) 2 ≤ 4