A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

86 II. INTEGRATION
Itereret integral
1 1
0
0
(2x + 2ye x )dxdy =
1
0
(2(e − 1)y + 1)dy
= (e − 1)y 2 + y 1
0
= ((e − 1) + 1) − (0 + 0)
= e
2.18. Fubini: Alle veje fører til Rom ☞ [S] 12.2 Iterated integrals
4 Sætning (Fubinis sætning)
Lad R = [a,b] × [c,d] og antag f : R → R er kontinuert. Så er dobbeltintegralet lig de
itererede integraler
b d
f(x,y)dA = f(x,y)dydx
og
R
R
a
d b
f(x,y)dA = f(x,y)dxdy
2.19. Overbevis ☞ [S] 12.2 Iterated integrals
Fubinis sætning - begrundelse
Lad f(x,y) ≥ 0. Volumenet under grafen er dobbeltintegralet
f(x,y)dA
Det partielle integral
R
d
A(x) = f(x,y)dy
er arealet af et snit gennem området under grafen for x fast.
c
2.20. Mere overbevis ☞ [S] 12.2 Iterated integrals
Fubinis sætning - begrundelse
Det itererede integral
b b d
A(x)dx = f(x,y)dydx
tilnærmes af Riemann summen
a
i
a
c
c
c
a
A(x ∗ i )∆x
som ved grænseovergang fører til volumenet, der netop er dobbeltintegralets værdi.
2.21. Fremgangsmåde ☞ [S] 12.2 Iterated integrals
Eksempel 2
R = [0,2] × [1,2], f(x,y) = x − 3y 2