A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

80 II. INTEGRATION
1.26. Midtpunkter til beregning ☞ [S] 12.1 Double integrals over rectangles
Eksempel 2 - igen
R = [−1,1] × [−2,2], f(x,y) = 1 − x 2
m = n = 2 og brug midtpunkter ¯x1 = −1 2 , ¯y1 = −1, ¯y2 = 1, ∆A = 2.
Den dobbelte Riemann sum giver
√
2π = 1 − x2dA ≈ 4 3
R
2 , ¯x2 = 1
6.28 ≈ 6.93
1.27. Regneregler hjælper ☞ [S] 12.1 Double integrals over rectangles
Regneregler for dobbeltintegral
7
8
Hvis f(x,y) ≥ g(x,y), så er
9
(f(x,y) + g(x,y))dA = f(x,y)dA + g(x,y)dA
R
R
cf(x,y)dA = c f(x,y)dA
R
R
R
f(x,y)dA ≥
R
R
g(x,y)dA
1.28. Brug regneregler
Opgave
☞ [S] 12.1 Double integrals over rectangles
Lad R = [0,1] × [0,1]. Afgør om
xy dA ≥ x 2 y 2 dA
Løsning
For 0 ≤ x,y ≤ 1 er
så uligheden er sand ifølge regneregel 9 .
R
R
xy ≥ x 2 y 2
1.29. Brug regneregler ☞ [S] 12.1 Double integrals over rectangles
Opgave
Lad R = [0,2] × [0,2]. Afgør om
(x + y)dA ≤ 16
R
Løsning
For 0 ≤ x,y ≤ 2 er x + y ≤ 4
så ifølge regneregel 9
R
(x + y)dA ≤
R
4dA ≤ 16
1.30. Test integral regneregler ☞ [S] 12.1 Double integrals over rectangles
Test
Lad f(x,y) = xy, R = [1,2] × [1,2]. For integralet V =
xy dA gælder uligheder
R
(a) 1 ≤ V ≤ 4. (b) 4 < V . (c) V < 1.