A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

68 I. DIFFERENTIATION
på cirkelskiven
f har kritisk punkt
D = {(x,y)|x 2 + y 2 ≤ 1}
∇f(x,y) = (2x,4y) = 0 ⇔
(x,y) = (0,0)
7.23. Find ekstremumspunkter ☞ [S] 11.8 Lagrange multipliers
Eksempel 2, 3 - fortsat
f(x,y) = x 2 + 2y 2 under begræsningen g(x,y) = x 2 + y 2 = 1 giver Lagrange ligninger
med løsninger
2x = λ2x
4y = λ2y
x 2 + y 2 = 1
(x,y) = (±1,0),(0, ±1)
7.24. Find ekstremumspunkter ☞ [S] 11.8 Lagrange multipliers
Eksempel 2, 3 - fortsat
f(x,y) = x 2 + 2y 2
I alt er der 5 punkter at tabellægge
(a,b) (0,0) (−1,0) (1,0) (0, −1) (0,1)
f(a,b) 0 1 1 2 2
På cirkelskiven D er
absolut maksimumspunkt og -værdi: f(0, ±1) = 2
absolut minimumspunkt og -værdi: f(0,0) = 0
7.25. Find mindste afstand ☞ [S] 11.8 Lagrange multipliers
Eksempel 4
Bestem punkter på kugleskallen x 2 + y 2 + z 2 = 4 som er nærmest og længst fra punktet
(3,1, −1).
x
2
z
(3,1, 1)
7.26. Find mindste afstand ☞ [S] 11.8 Lagrange multipliers
Eksempel 4
y