A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

56 I. DIFFERENTIATION
6.22. 2. ordens kriterium ☞ [LA] 13.2 2.ordens partielle afledede, . . .
Andenordenstest - fortsat
I det kritiske punkt P :
(a) Hvis alle egenværdier er positive, så er P et lokalt minimum.
(b) Hvis alle egenværdier er negative, så er P et lokalt maximum.
(c) Hvis der forekommer både positive og negative egenværdier, så er P et saddelpunkt.
6.23. 2. ordens kriterium ☞ [LA] 13.2 2.ordens partielle afledede, . . .
Andenordenstest - Eksempel
Funktionen f(x,y,z) = 2x 2 + 3y 2 − z 2 har gradient
og kritisk punkt P = (0,0,0).
Hesse matricen
har egenværdier 4,6 > 0 of −2 < 0.
Andenordenstesten giver:
∇(f) = (4x,6y, −2z)
⎛
4 0
⎞
0
HP(f) = ⎝0
6 0 ⎠
0 0 −2
P er et saddelpunkt.
6.24. Lokalt maksimum/minimum ☞ [S] 11.7 Maximum and minimum values
To variabele - figur
z
har et saddelpunkt i (0,0).
x
z = 1 − x 2 + y 2
6.25. Ekstremumspunkters type ☞ [S] 11.7 Maximum and minimum values
Eksempel 3
f(x,y) = x 4 + y 4 − 4xy + 1
har kritiske punkter, hvor
De kritiske punkter bestemmes
∇f(x,y) = (4x 3 − 4y,4y 3 − 4x) = (0,0)
x 3 − y = 0, y 3 − x = 0 ⇔
x 3 − y = 0, (x 3 ) 3 − x = 0 ⇔
(x,y) = (0,0),(1,1),(−1, −1)
y