A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

6. MAKSIMUM/MINIMUM 55
6.18. 2. ordens kriterium, lokalt maksimum ☞ [S] 11.7 Maximum and minimum values
En variabel - figur
y
lokalt maksimum
x1
x2
f ′ (0)=0
f ′ (x1)>0 f ′ (x2) 0, fxx(a,b) > 0 ⇒ (a,b) lokalt minimum
(b) D > 0, fxx(a,b) < 0 ⇒ (a,b) lokalt maksimum
(c) D < 0 ⇒ (a,b) saddelpunkt
6.20. 2. ordens kriterium ☞ [LA] 13.2 2.ordens partielle afledede, . . .
Andenordenstest - to variable
Antag f(x,y) har kritisk punkt (a,b), ∇f(a,b) = 0. Hesse matricen
fxx(a,b) fxy(a,b)
fyx(a,b) fyy(a,b)
har determinant D = fxx(a,b)fyy(a,b) − fxy(a,b) 2 . Egenværdier: (a) to positive, (b) to
negative , (c) en positiv og en negativ.
(a) D > 0, fxx(a,b) > 0 ⇒ (a,b) lokalt minimum
(b) D > 0, fxx(a,b) < 0 ⇒ (a,b) lokalt maksimum
(c) D < 0 ⇒ (a,b) saddelpunkt
6.21. 2. ordens kriterium ☞ [LA] 13.2 2.ordens partielle afledede, . . .
Andenordenstest - mange variable
Givet f(x1,...,xn). En nødvendig betingelse for et lokalt ekstremum i et indre punkt P
er
∇P(f) = ( ∂f
(P),...,
∂x1
∂f
(P)) = 0
∂xn
Hesse matricen HP(f) er den symmetriske n × n-matrix, hvis ij’te indgang er
(Denne kan diagonaliseres).
∂2f (P)
∂xi∂xj
x