A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

6. MAKSIMUM/MINIMUM 53
6.10. 1. ordens kriterium ☞ [S] 11.7 Maximum and minimum values
2 Sætning
Hvis f(x,y) har lokalt maksimum/minimum, lokalt ekstremum, i punktet (a,b) og de partielle
afledede eksisterer i (a,b) så er
Skrives også med gradienten
fx(a,b) = 0 = fy(a,b)
(a,b) lokalt maks/min ⇒ ∇f(a,b) = 0
6.11. Kritisk punkt ☞ [S] 11.7 Maximum and minimum values
Definition
En funktion f(x,y) har et kritisk punkt, stationœrt punkt i punktet (a,b), hvis
∇f(a,b) = (fx(a,b),fy(a,b)) = 0
Når de partielle afledede findes, er et lokalt maksimum/minimum et kritisk punkt.
Et kritisk punkt, som hverken er lokalt maksimum eller minimum, kaldes et saddelpunkt.
6.12. Kritisk punkt ☞ [S] 11.7 Maximum and minimum values
Kritisk punkt
z
z
x
y
lokalt maksimum
x
Saddelpunkt
6.13. Find ekstremumspunkter ☞ [S] 11.7 Maximum and minimum values
Eksempel 1
har kritisk punkt
Omskrivningen
f(x,y) = x 2 + y 2 − 2x − 6y + 14
∇f(x,y) = (2x − 2,2y − 6) = 0 ⇔ (x,y) = (1,3)
f(x,y) = (x − 1) 2 + (y − 3) 2 + 4
viser, at (1,3) er et absolut minimum på D = R 2 .
6.14. Absolut minimum ☞ [S] 11.7 Maximum and minimum values
Eksempel 1 - figur
y