A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

46 I. DIFFERENTIATION
For den retningsafledede i retning (2,5) bruges enhedsvektoren
u = 1
√ 29 (2,5)
Duf(x,y) = (2xy 3 ,3x 2 y 2 − 4) ·
1
√ 29 (2,5)
= 1
√ 29 (4xy 3 + 15x 2 y 2 − 20)
5.23. Retningsafledt ☞ [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .
Eksempel 4 - fortsat
I retning u = 1
√ 29 (2,5) er
I punktet (x,y) = (2, −1) fås
Duf(x,y) = (2xy 3 ,3x 2 y 2 − 4) ·
Duf(2, −1) = (−4,8) ·
= 32
√ 29
1
√ 29 (2,5)
1
√ 29 (2,5)
5.24. Mange variable ☞ [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .
Bemærkning
For en funktion f i n variable er den retningsafledede i et punkt x0 ∈ R n i retning af en
enhedsvektor u ∈ R n
11
Fra kædereglen følger
12
f(x0 + hu) − f(x0)
Duf(x0) = lim
h→0 h
Duf(x0) =
n
i=1
fxi (x0)ui
5.25. Mange variable ☞ [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .
Bemærkning - fortsat
For en funktion f i n variable er gradienten en vektor i R n
13
∇f = ( ∂f
,...,
∂x1
∂f
)
∂xn
= (fx1 ,...,fxn )
For en enhedsvektor u ∈ R n er den retningsafledede
14
Duf = ∇f · u
n
=
i=1
fxi ui
5.26. Retningsafledt, 3 variable ☞ [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .
Eksempel 5
Gradienten af f(x,y,z) = xsin yz er
∇f = (sin yz,xz cos yz,xy cos yz)