A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

Heraf f.eks.
5. GRADIENT 43
z
Duf(x0) = g ′ (0) ≈ 0.5(0.9/0.7 + 1.1/0.8) ≈ 1.33
5.11. Retningsafledt, formel ☞ [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .
3 Sætning
For en differentiabel funktion f(x,y) er den retningsafledede punktet (x,y) i retning af en
enhedsvektor u = (a,b) givet ved
Duf(x,y) = fx(x,y)a + fy(x,y)b
Bevis
Funktionen g(h) = f(x0 + ha,y0 + hb) har afledt
g ′ f(x0 + ah,y0 + bh) − f(x0,y0)
(0) = lim
= Duf(x0,y0)
h→0
h
Konklusion fra kædereglen g ′ (0) = fx(x0,y0)a + fy(x0,y0)b
5.12. Retningsafledt udregnet ☞ [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .
Eksempel - gentaget
Funktionen f(x,y) = x 2 + y har partielle afledede
fx(x,y) = 2x, fy(x,y) = 1
Den retningsafledede i punktet (1,1) i retningen u = ( 3 4
5 , 5 ) beregnes
Duf(1,1) = fx(1,1) 3 4
+ fy(1,1)
5 5
= 2 · 3 4
+ 1 ·
5 5
= 2
5.13. Retningsafledt og vinkel ☞ [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .
Bemærkning
Hvis enhedsvektoren u danner en vinkel på θ med x-aksen, så er
og den retningsafledede kan skrives
1
u = (cos θ,sin θ)
6 Duf(x,y) = fx(x,y)cos θ + fy(x,y)sin θ
y
u
(cos ,sin )
1
x
h