A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

4. KÆDEREGLEN 37
4.18. Jacobimatricen ☞ [LA] $ 2.2 Kædereglen i matrix-formulering
Definition
For en differentiabel afbildning g : R n → R m
(u1,...,un) ↦→ (g1(u1,...,un),...,gm(u1,...,un))
er Jakobimatricen følgende m × n-matrix
⎛
du(g) =
⎜
⎝
∂g1
∂u1
.
∂gm
∂u1
4.19. Kædereglen ☞ [LA] $ 2.2 Kædereglen i matrix-formulering
Sætning
For differentiable afbildninger
er sammensætningen
R n
...
. ..
...
∂g1
∂un
.
∂gm
∂un
⎞
⎟
⎠
g
−−−−→ R m f
−−−−→ R p
R n f◦g
−−−−→ R p
differentiabel og Jakobimatricen er matrixproduktet
du(f ◦ g) = d g(u)(f)du(g)
4.20. Matricer er godt ☞ [S] 11.5 The chain rule
Eksempel 5 (Matrixform)
u = x 4 y + y 2 z 3
Beregn us.
x = rse t , y = rs 2 e −t , z = r 2 ssin t
d(u) = ur us
ut
= ⎛
ux uy
uz ⎝
xr xs xt
yr ys yt
zr zs zt
4.21. Matrixprodukt ☞ [S] 11.5 The chain rule
Eksempel 5 (Matrixform) - fortsat
Svaret er
u = x 4 y + y 2 z 3 , x = rse t , y = rs 2 e −t , z = r 2 ssin t
ur us ut
⎛
= 4x3y x4 + 2yz3 3y2z2 ⎝
⎞
⎠
set ret rset s2e−t 2rse−t −rs2e−t 2rssin t r2 sin t r2scos t
us = 4x 3 yre t + (x 4 + 2yz 3 )2rse −t + 3y 2 z 2 r 2 sin t
4.22. Test matrixform ☞ [S] 11.5 The chain rule
Test
Lad g(x,y) = (x 2 − y 2 ,xy). Så er Jacobimatricen:
2 2 x −y 2x −2y 2x −2y
(a)
. (b)
. (c)
.
x y y x x y
⎞
⎠