A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

der har kædereglen
som grænseværdi for ∆t → 0.
dz
dt
4. KÆDEREGLEN 35
∂z dx ∂z dy
= +
∂x dt ∂y dt
4.10. Brug kæderegel ☞ [S] 11.5 The chain rule
Eksempel 1 z = x 2 y + 3xy 4 , x = sin 2t, y = cos t
Kædereglen giver
Heraf for t = 0
zx = 2xy + 3y 4 , zy = x 2 + 12xy 3
z ′ = zxx ′ + zyy ′
x ′ = 2cos 2t, y ′ = −sin t
= (2xy + 3y 4 )2cos 2t + (x 2 + 12xy 3 )(−sin t)
z ′ (0) = (0 + 3)2 + (0 + 0)0 = 6
4.11. Brug kæderegel ☞ [S] 11.5 The chain rule
Eksempel 1 - fortsat
Og videre herfra
z = x 2 y + 3xy 4 , x = sin 2t, y = cos t
z ′ = (2xy + 3y 4 )2cos 2t + (x 2 + 12xy 3 )(−sin t)
z ′ = (4sin 2t cos t + 6cos 4 t)cos 2t
−(sin 2 2t + 12sin 2t cos 3 t)sin t
4.12. Test kæderegel ☞ [S] 11.5 The chain rule
Test
Lad f(x,y) = x 2 − xy, x = t 2 , y = t 3 . Så giver kædereglen
Løsning
Udregningen
giver
f ′ (t) = (2t 2 − t 3 ) − t 2
fx = 2x − y, fy = −x, x ′ = 2t, y ′ = 3t 2
f ′ = fxx ′ + fyy ′ = (2t 2 − t 3 )2t − t 2 3t 2 = 4t 3 − 5t 4
Afkryds:
ja nej
4.13. To gange to kæderegel ☞ [S] 11.5 The chain rule
3 Sætning (Kædereglen)
Antag at z = f(x,y) er differentiabel og x(s,t),y(s,t) er differentiable funktioner. Den
sammensatte funktion z(s,t) er differentiabel med
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
= +
∂s ∂x ∂s ∂y ∂s
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
= +
∂t ∂x ∂t ∂y ∂t