A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

4. KÆDEREGLEN 33
4. Kædereglen
4.1. Oversigt ☞ [S] 3.5, 11.5
Nøgleord og begreber
✌ Kædereglen i en variabel
✌ Kædereglen to variable
✌ Test kædereglen
✌ Kædereglen i tre eller flere variable
✌ Jacobimatricen
✌ Kædereglen på matrixform
✌ Test matrixform
✌ Differentiation af implicit funktion
✌ Test implicit funktion
4.2. Sammensat funktion ☞ [S] 3.5 The chain rule
Sætning (Kædereglen)
For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f ◦ g differentiabel
med
F ′ (x) = f ′ (g(x))g ′ (x)
For y = F(x) = f(g(x)) skrives
dy dy du
=
dx du dx
4.3. Overbevis ☞ [S] 3.5 The chain rule
Bevis
∆u = g(x + ∆x) − g(x), ∆y = f(u + ∆u) − f(u)
giver
der har kædereglen
som grænseværdi for ∆x → 0.
∆y ∆y ∆u
=
∆x ∆u ∆x
dy dy du
=
dx du dx
4.4. Brug kæderegel ☞ [S] 3.5 The chain rule
Eksempel 1
Find F ′ (x) for F(x) = √ x 2 + 1.
f(u) = √ u, u = g(x) = x 2 + 1 er differentiable med
f ′ (u) = 1
2 √ u , g′ (x) = 2x
F = f ◦ g er differentiabel med
F ′ (x) = f ′ (g(x))g ′ 1
(x) =
2 √ x2 + 1 2x
Altså d x
x2 + 1 = √
dx x2 + 1
4.5. Kæderegel i en variabel igen ☞ [S] 11.5 The chain rule
Sætning (Kædereglen)
d
dt f(g(t)) = f ′ (g(t))g ′ (t)