A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

I punktet (1,2) er den lineære approximation
Benyttes til tilnærmelse
3. TANGENTPLAN 29
f(x,y) ≈ 1 + 19(x − 1) + 4(y − 2)
f(1.1,1.9) ≈ 1 + 19(1.1 − 1) + 4(1.9 − 2) = 2.5
3.16. Test approximation ☞ [S] 11.4 Tangent planes and linear . . .
Test
Betragt den lineære approximation til funktionen
i punktet (x,y) = (1,1). Den er givet ved
(a) f(x,y) ≈ −1
2
f(x,y) = 1
x2 1
−
+ y 2
−1
(x − 1) + (y − 1). (b) f(x,y) ≈ 2xy.
4
(c) f(x,y) ≈ 1 + y. (d) f(x,y) ≈
−1
(x2 .
+ y) 2
Løsning
Udeluk (b), (c), (d) ved indsættelse af (1,1).
Afkryds den rigtige:
(a) (b) (c) (d)
3.17. Test approximation ☞ [S] 11.4 Tangent planes and linear . . .
Test - løsning
f(x,y) = 1
x2 1
−
+ y 2
giver i punktet (1,1)
fx = −2x
(x2 + y) 2 , fy
−1
=
(x2 + y) 2
fx(1,1) = −1
2 , fy(1,1) = −1
4
Approximationen af f for (x,y) ≈ (1,1) skrives
f(x,y) ≈ −1
2
−1
(x − 1) + (y − 1)
4
3.18. Omskriv differentiabel ☞ [S] 11.4 Tangent planes and linear approx.
Bemærkning
En funktion y = f(x) er differentiabel i a, hvis
5 ∆y = f ′ (a)∆x + ǫ∆x
hvor
ǫ → 0, når ∆x → 0
3.19. Tilvækst ☞ [S] 11.4 Tangent planes and linear approx.
Definition
For funktion z = f(x,y) er tilvæksten i (a,b)
6 ∆z = f(a + ∆x,b + ∆y) − f(a,b)
Eksempel