A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

5. JANUAR 2005 267
1) Undersøg hvilke af følgende tre punkter, der er kritiske punkter for f:
(1,1), (0,0), (−1, −1).
2) Det oplyses, at f har netop to kritiske punkter. For hvert af de kritiske punkter for f
ønskes angivet, om det er et lokalt maximum, et lokalt minimum, eller ingen af delene.
Løsning. 1) For f(x,y) = x 3 + y 3 + 3xy er de partielle afledede
Gradienterne ∇f = (fx,fy) beregnes
Så (0,0),(−1, −1) er kritiske punkter.
2) De andenordens partielle afledede er
fx = 3x 2 + 3y, fy = 3y 2 + 3x.
∇f(1,1) = (6,6)
∇f(0,0) = (0,0)
∇f(−1, −1) = (0,0) .
fxx = 6x, fxy = 3, fyy = 6y .
Hessematricen er
6x
H(f) =
3
3
.
6y
I de kritiske punkter fås:
0
H (f) =
(0,0) 3
3
,
0
som har determinant = −9. Punktet (0,0) er derfor et saddelpunkt.
−6 3
H (f) = ,
(−1,−1) 3 −6
som har karakteristisk polynomium
−6 − λ 3
3 −6 − λ = λ2 + 12λ + 25
med rødder −12±√144−100 2
13.2.
< 0. Punktet (−1, −1) er derfor et lokalt maksimum, [LA]