A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

266 IX. OPGAVER
og stamfunktionerne
Dette giver fuldstændig løsning
3
A(x) = a(x)dx = dx = 3ln x ,
x
B(x) = e −A(x)
b(x)dx =
= x −3
x dx = x −2 dx
= −x −1 .
y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x)
= Ce 3 ln x − x −1 3 ln x
e
= Cx 3 − x −1 x 3
= Cx 3 − x 2 ,
hvor C er en arbitrær konstant.
I den partikulære løsning bestemmes C ved y(1) = 2.
Det ses, at den søgte partikulære løsning er
2 = C1 3 − 1 2 ⇒ C = 3 .
y(x) = 3x 3 − x 2 .
e −3 ln x x dx
Opgave 6. 1) Angiv en potensrække i x, der i intervallet (−1,1) fremstiller funktionen
f(x) = arctan(x 2 )
(arctan betegnes i lærebogen tan −1 , jvf. f.eks. s. 608-609.)
2) Angiv en potensrække i x, der i intervallet (−1,1) fremstiller funktionen f ′ (x), hvor
f(x) = arctan(x 2 ).
For begge rækker er det tilstrækkeligt at angive så mange led, at mønsteret træder frem.
Løsning. 1) Fra [S] 8.7 haves
Indsæt y = x 2
Altså er
arctan y = y − 1
3 y3 + 1
5 y5 − ...
arctan(x 2 ) = x 2 − 1
3! (x2 ) 3 + 1
5 (x2 ) 5 − ...
f(x) = x 2 − 1
3 x6 + 1
5 x10 − 1
7 x14 + ...
2) Den afledede f ′ (x) fås ved ledvis differentiation
Altså er
Opgave 7. Betragt funktionen
f ′ (x) = 2x − 6
3 x5 + 10
5 x9 − 14
7 x13 + ...
f ′ (x) = 2x − 2x 5 + 2x 9 − 2x 13 + ...
f(x,y) = x 3 + y 3 + 3xy.