A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

Opgave 4. For et vilkårligt reelt tal b betragtes matricen
⎡
0 0
⎤
1
⎣ 0 b 0 ⎦.
4 0 0
1) Vis at b er en egenværdi for denne matrix.
2) Angiv egenrummet for egenværdien 2 for matricen
⎡
0 0
⎤
1
⎣ 0 2 0 ⎦.
4 0 0
Løsning. 1) Lad
Så har matricen
A = ⎣
5. JANUAR 2005 265
⎡
⎡
A − bI = ⎣
0 0 1
0 b 0
4 0 0
⎤
⎦.
−b 0 1
0 0 0
4 0 −b
en 0-række. Dermed er nulrummet ikke trivielt og b er en egenværdi, [LA] 9.
2) Den opgivne matrix er A for b = 2. Nulrummet beregnes ved elimination. Rækkere-
duktionen
⎡
A − 2I = ⎣
giver det reducerede ligningssystem
−2 0 1
0 0 0
4 0 −2
⎤
x1 = 1
2 x3
En vektor (x1,x2,x3) i nulrummet opskrives
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎣
x1
x2
x3
Det ses, at egenrummet er
⎦ = ⎣
1
2 x3
x2
x3
⎦ = x2 ⎣
⎡
E2 = span( ⎣
0
1
0
⎡
⎦ ∼ ⎣
⎤
⎡
0
1
0
⎦ , ⎣
Opgave 5. Betragt differentialligningen (for x > 0)
⎡
dy 3y
= + x.
dx x
⎤
⎤
⎦
1 0 −1
2
0 0 0
0 0 0
⎡
⎦ + x3 ⎣
1
2
0
1
⎤
⎦) .
Angiv den løsning y(x) (for x > 0), der opfylder y(1) = 2.
Løsning. En analytisk løsning kan med notation fra [LA] 14 beskrives ved
a(x) = 3
, b(x) = x
x
1
2
0
1
⎤
⎦
⎤
⎦