A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

264 IX. OPGAVER
Da U = span(u 1 ,u 3 ) og u 1 og u 3 er ortogonale fås fra [LA] Sætning 17 projektionen af
v = (30,30,0,0) på U
projU(v) = proju 1 (v) + proju 3 (v)
u1 +
u1 · u1 v · u3 u3 · u3 = v · u 1
u 2
30 + 60
−120 − 90
=
(1,2,3,4) + (−4, −3,2,1)
1 + 4 + 9 + 16 16 + 9 + 4 + 1
= 3(1,2,3,4) − 7(−4, −3,2,1)
= (31,27, −5,5) .
Opgave 3. Lad T betegne trekanten i xy-planen afgrænset af x-aksen, y-aksen og linien
x + y = 2 (tegn!). Udregn dobbeltintegralet
e x+3y dA.
Løsning. Området tegnes
y
2
T
0 2
Trekanten T = {(x,y)|0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 2 − x}
T er af type I. Dobbelt integralet opstilles itereret, [S] 12.2,
og beregnes
T
T
f(x,y) dA =
e x+3y dA =
2 2−x
0
0
x
f(x,y)dy dx
2 2−x
e
0 0
x e 3y dy dx
2
= e
0
x [ 1
3e3y ] y=2−x
y=0 dx
= 1
2
e
3 0
x (e 6−3x − 1)dx
= 1
3 [e6 (−1 2e−2x ) − e x ] 2 0
= 1
3 (e6 (− 1
= 1
6 e6 − 1
2 e2 + 1
3 .
2e−4 ) − e 2 − (e 6 (−1 2
) − 1))