A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

5. JANUAR 2005 263
5. Januar 2005
Opgave 1. Lad v betegne vektoren (4, −3) ∈ R 2 .
1) Angiv en enhedsvektor u (dvs. en vektor af længde 1), som har samme retning som v.
2) Lad f betegne funktionen f(x,y) = ln(1 + x + 2y). Angiv den retningsafledede
Duf(0,0).
Løsning. 1) Længden af v = (4, −3) er v = 42 + (−3) 2 = √ 25 = 5. Enhedsvektoren
i v’s retning er
u = 1 1
v = (4, −3) = (4 , −3 ) .
v 5 5 5
2) De partielle afledede af f(x,y) = ln(1 + x + 2y) er
fx =
hvorfra gradienten i (0,0) fås
1
1 + x + 2y , fy
2
=
1 + x + 2y ,
∇f(0,0) = (fx(0,0),fy(0,0)) = (1,2) .
Den retningsafledede i retning u = ( 4
5 , −3
5 ) er ifølge [S] 11.6
∇f(0,0) · u = (1,2) · ( 4 4 6
, −3 ) = − = −2
5 5 5 5 5 .
Opgave 2. Betragt følgende tre vektorer i R 4 :
u 1 = (1,2,3,4), u 2 = (−3, −1,5,5), u 3 = (−4, −3,2,1).
1) Undersøg hvilke af følgende udsagn der gælder:
2) Det oplyses, at
u 1 ⊥ u 2 , u 2 ⊥ u 3 , u 1 ⊥ u 3 .
span(u 1 ,u 2 ) = span(u 2 ,u 3 ) = span(u 1 ,u 3 ).
Dette underrum kaldes U. Lad v betegne vektoren v = (30,30,0,0). Angiv den ortogonale
projektion projU(v) af vektoren v på U.
Løsning. 1) Udregn
u 1 · u 2 = −3 − 2 + 15 + 20 = 30 = 0
u 1 · u 3 = −4 − 6 + 6 + 4 = 0
u 2 · u 3 = 12 + 3 + 10 + 5 = 30 = 0
Så u 1 ⊥ u 3 er det eneste sande udsagn.
2) Problemstillingen er illustreret på figuren
v
v u ∈ U ⊥
u = projU(v)
Ortogonal projektion på underrum
U