A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

260 IX. OPGAVER
Løsning. 1) De partielle afledede er
hvorfra gradienten angives
fx = ln(1 + x + y) +
∇f(x,y) = (fx,fy) = (ln(1 + x + y) +
2) Den retningsafledede i retning u = 1 √ 2 (1,1) er
x
1 + x + y , fy
x
=
1 + x + y ,
x
1 + x + y ,
x
) .
1 + x + y
∇f(0,1) · u = (ln 2,0) · 1 √ 2 (1,1) = 1
√ 2 ln 2 .
Opgave 3. Det oplyses, at vektoren v = (1,2) er en egenvektor for en matrix A af formen
hvor a er et vist reelt tal.
1) Angiv den tilhørende egenværdi
2) Beregn tallet a.
Løsning. 1) Udregningen
viser at egenværdien
2) a opfylder
altså a = 2 .
A v =
Opgave 4. Betragt funktionen
2 1
a 3
A =
1
2
2 1
a 3
=
λ = 4 .
,
4
a + 6
a + 6 = 2λ = 8
1
= λ
2
f(x) = sin( x2
2 ).
1) Angiv nogle af de første led i en potensrække i x , der på hele den reelle akse fremstiller
funktionen f(x). (Det er tilstrækkeligt at angive leddene af grad ≤ 6.)
2) Beregn tallet f (4) (0) (hvor f (4) betegner den 4. afledede af f).
Løsning. 1) Fra [S] haves
Indsæt y = x2
2
Altså
sin y = y − 1
3! y3 + 1
5! y5 ...
sin( x2
x2 ) =
2 2
1 x2 − 3! (
2 )3 + 1
5!
( x2
2 )5 − ...
sin( x2 1
) =
2 2 x2 − 1
48 x6 + ...
2) I en potensrække f(x) = anxn gælder
Heraf f (4) (0) = 0 .
f (n) (0) = n!an .