A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

256 IX. OPGAVER
Opgave 4. Angiv en potensrække i x, der fremstiller en stamfunktion til Arctan(x) (=
tan −1 (x)) i intervallet (−1,1). Det er nok at angive så mange led, at mønsteret træder
frem.
Løsning. Man har ([S] 8.6 Example 7)
og
Arctan(x) =
1
dx
1 + x2 1
1 + x 2 = 1 − x2 + x 4 − x 6 + x 8 − ... .
Heraf ved ledvis integration (eller: direkte fra [S] 8.7 side 618)
Arctan(x) = 1 1
x −
1 3 x3 + 1
5 x5 − 1
7 x7 + 1
9 x9 − ...
og fortsat integration giver den søgte stamfunktion
Arctan(x)dx = 1
1 · 2 x2 − 1
3 · 4 x4 + 1
5 · 6 x6 − 1
7 · 8 x8 + 1
9 · 10 x10 − ...
=
∞
n=1
(−1) n+1
(2n − 1)2n x2n .
Opgave 5. Lad U betegne det lineære underrum af R 4 udspændt af vektorerne u 1 =
(1,0,0,0) og u 2 = (0,1,1,0). Betragt vektoren v = (2,4,6,8).
1) Angiv projektionen projU(v).
2) Angiv afstanden fra v til U.
Løsning. Problemstillingen er illustreret på figuren
1) Udregningen
v
v u ∈ U ⊥
u = projU(v)
Ortogonal projektion på underrum
u 1 · u 2 = 1 · 0 + 0 · 1 + 0 · 1 + 0 · 0 = 0
U