A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

3. JANUAR 2004 255
Opgave 3. Lad a betegne et vilkårligt reelt tal, og lad A betegne matricen
⎡
3 0
⎤
0
A = ⎣ 1 a 1 ⎦ .
0 0 3
1) Gør rede for, at (−1,0,1) er en egenvektor for A, og angiv den tilhørende egenværdi.
2) Betragt matricen
⎡
3 0
⎤
0
B = ⎣ 1 1 1 ⎦
0 0 3
(fremkommet af matricen A fra Sp. 1) ved at sætte a = 1)
Det oplyses, at λ = 3 er en egenværdi for B. Angiv det tilhørende egenrum E3.
Løsning. 1) Fra udregningen
⎡ ⎤⎡
3 0 0
⎣ 1 a 1 ⎦⎣
0 0 3
−1
0
1
⎤
⎡
⎦ = ⎣
−3 + 0 + 0
−1 + 0 + 1
0 + 0 + 3
⎤
⎡
⎦ = 3⎣
ses ([LA] (25)), at den opgivne vektor er en egenvektor og egenværdien er 3.
2) Det søgte egenrum er løsningsrum for det homogene ligningssystem med koefficientmatrix
⎡
3 − 3 0
⎤
0
⎡
0 0
⎤
0
B − 3I = ⎣ 1 1 − 3 1 ⎦ = ⎣ 1 −2 1 ⎦ .
0
Det reducerede ligningssystem er
0 3 − 3 0 0 0
x − 2y + z = 0 .
Eliminationsmetoden giver et løsningsrum beskrevet ved to parametre y,z
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
x 2y − z 2 −1
⎣ y ⎦ = ⎣ y ⎦ = y ⎣ 1 ⎦ + z ⎣ 0 ⎦ .
z z 0 1
Det følger ([LA] Sætning 15), at egenrummet også kan udtrykkes som underrummet
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
2 −1
E3 = span( ⎣ 1 ⎦, ⎣ 0 ⎦) .
0 1
−1
0
1
⎤
⎦