A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

252 IX. OPGAVER
Grafen for
y =
x − sinx
x 3 cos x
2.34. Bestem ekstrema ☞ Matematik Alfa 1, Januar 2003
Opgave 7
Minimer x 2 +xy +y 2 under bibetingelsen x 2 +y 2 = 18. Det kan frit benyttes at et sådant
minimum eksisterer.
Løsning
Sæt f(x,y) = x 2 + xy + y 2 og g(x,y) = x 2 + y 2 = 18. De partielle afledede er
fx = 2x + y,fy = x + 2y
gx = 2x,gy = 2y
2.35. Bestem ekstrema ☞ Matematik Alfa 1, Januar 2003
Opgave 7 - fortsat
Lagrange ligningssystem bliver
2x + y = λ2x
x + 2y = λ2y
x 2 + y 2 = 18
Løsningen giver x = ±y og videre fire punkter
Indsættelse giver minimumspunkter/værdi
(−3, −3),(−3,3),(3, −3),(3,3)
(a,b) = (−3,3),(3, −3), f(a,b) = 9
2.36. Bestem ekstrema ☞ Matematik Alfa 1, Januar 2003
Opgave 7 - figur
(3, 3,9) ( 3,3,9)
x
z
Grafen for f
2.37. Bestem ekstrema ☞ Matematik Alfa 1, Januar 2003
Opgave 7 - alternativt
Løs bibetingelsen, y = ± √ 18 − x 2 og minimer funktionen
h(x) = f(x, ± 18 − x 2 ) = 18 ± x 18 − x 2
y