A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

246 IX. OPGAVER
Skalerede gradienter 4∇z for z = 1+y
x+y .
2.10. Angiv egenvektor
Opgave 2
☞ Matematik Alfa 1, Januar 2003
Betragt matricen
⎡
9 4
⎤
−3
A = ⎣ −2 0 6 ⎦ .
−1 −4 11
1) Det oplyses, at vektoren (−1,1,1) er en egenvektor for A. Angiv den tilhørende egenværdi.
2) Angiv endnu en egenvektor til dennne egenværdi; der ønskes en egenvektor, som ikke
er af form t · (−1,1,1).
2.11. Angiv egenvektor ☞ Matematik Alfa 1, Januar 2003
Opgave 2 - løsning
1. Egenværdi hørende til egenvektoren (−1,1,1):
⎡
⎣
9 4 −3
−2 0 6
−1 −4 11
⎤⎡
⎦⎣
−1
1
1
⎤
⎡
⎦ = ⎣
−8
8
8
⎤
⎡
⎦ = 8⎣
giver egenværdi 8.
2. Egenvektorer hørende til egenværdien 8:
⎡
1
A − 8I = ⎣−2 4
−8
⎤ ⎡
−3 1
6 ⎦ ∼ ⎣0 4
0
⎤
−3
0 ⎦
−1 −4 3 0 0 0
2.12. Angiv egenvektor ☞ Matematik Alfa 1, Januar 2003
Opgave 2 - løsning
giver det reducerede ligningssystem
og dermed
⎡
⎣
x1
x2
x3
x1 + 4x2 − 3x3 = 0
−1
1
1
x1 = −4x2 + 3x3
⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
−4x2 + 3x3 −4 3
⎦ = ⎣ x2 ⎦ = x2 ⎣ 1 ⎦ + x3 ⎣0⎦
0 1
x3
hvor x2,x3 vælges frit. Som egenvektor ej på form t · (−1,1,1) kan vælges (−4,1,0).
2.13. Angiv egenvektor ☞ Matematik Alfa 1, Januar 2003
Opgave 2 - gør prøve!
⎡
9
⎣ −2
4
0
⎤ ⎡
−3
6 ⎦ ⎣
−1 −4 11
−4
⎤ ⎡
1 ⎦ = ⎣
0
−32
⎤ ⎡
8 ⎦ = 8⎣
0
−4
⎤
1 ⎦
0
⎡
9
⎣ −2
4
0
⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
−3 3 24 3
6 ⎦ ⎣ 0 ⎦ = ⎣ 0 ⎦ = 8⎣
0 ⎦
−1 −4 11 1 8 1
Så prøven stemmer!
⎤
⎦