A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

Opgave 5 - figur
y
1
0 1
1. AUGUST 2002 241
Skalerede gradienter 0.1∇z for z = y 2 + ln(x 3 + y + 1).
1.30. Beregn projektion ☞ Matematik Alfa 1, August 2002
Opgave 6
Betragt det lineære underrum U ⊂ R 4 , der er udspændt af vektorer u1 = (1,1, −1, −1)
og u2 = (0,1,1,0). Angiv den vektor u i U, der har kortest afstand til vektoren v =
(1,2,3,4).
Løsning
I følge [LA] Sætning 18 er u den ortogonale projektion af v på U.
Den korteste afstand er
||v − u||
1.31. Beregn projektion ☞ Matematik Alfa 1, August 2002
Opgave 6 - løsning
Vektorerne u1 = (1,1, −1, −1) og u2 = (0,1,1,0) har
u1 · u2 = 1 · 0 + 1 · 1 + (−1) · 1 + (−1) · 0 = 0
Fra [LA] Sætning 17 fås projektionen af v = (1,2,3,4)
u = projU(v) = proju1 (v) + proju2 (v)
= v · u1 v · u2
u1 +
u1 · u1
u2
u2 · u2
= −4
5
(1,1, −1, −1) +
4 2 (0,1,1,0)
= (−1, 3 7
2 , 2 ,1)
1.32. Beregn projektion ☞ Matematik Alfa 1, August 2002
Opgave 6 - ekstra
Restvektoren
v − u = (1,2,3,4) − (−1, 3 7
2 , 2 ,1)
= (2, 1
2 , −1
2 ,3)
har længde, som angiver den mindste afstand fra v til U
||v − u|| = ||(2, 1
2
27
=
2
= 3√
6
2
x
, −1
2 ,3)||