A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

232 VIII. APPENDIKS
1.33. Kompleks logaritmefunktion ☞ [S] Appendix I Complex numbers
Definition
Den komplekse logatitmefunktion er bestemt pånær 2kπ og givet ved, z = r(cos θ +
isin θ) = 0,
log z = lnr + iθ
Kan skrives
log z = ln |z| + iarg z
Der gælder
e log z = z, log e z = z + 2kπ
og
log z1z2 = log z1 + log z2 + 2kπ
1.34. Komplekse trigonometriske funktioner ☞ [S] Appendix I Complex numbers
Eksempel
Eulers formel
6 e iy = cos y + isin y
giver
cos y = eiy + e−iy , siny =
2
eiy − e−iy 2i
Definition
De komplekse trigonometriske funktioner defineres ved
cos z = eiz + e−iz , sinz =
2
eiz − e−iz 2i
1.35. Komplekse trigonometriske funktioner ☞ [S] Appendix I Complex numbers
Definition - fortsat
De trigonometriske additionsformler er opfyldte
cos(z1 + z2) = cos z1 cos z2 − sinz1 sin z2
sin(z1 + z2) = sinz1 cos z2 + cos z1 sinz2
Der er inverse funktioner. For w = cos z er
z = arccos w = 1
i log(w ± w 2 − 1)
Tilsvarende for w = sin z er
z = arcsinw = 1
i log(wi ± 1 − w 2 )