A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

2. PARTIELLE AFLEDEDE 23
2.22. Der er kun det halve arbejde ☞ [S] 11.3 Partial derivatives
Sætning (Clairaut)
Antag at f er defineret på en (lille) cirkelskive med centrum i (a,b). Hvis fxy,fyx er
kontinuerte på cirkelskiven, så gœlder
fxy(a,b) = fyx(a,b)
"Højere partielle afledede afhænger ikke af differentiations rækkefølgen."
2.23. Overbevis ☞ [S] Appendix E A few proofs
Bevis (Clairaut)
∆(h) = (f(a + h,b + h) − f(a + h,b)) − (f(a,b + h) − f(a,b))
Omskrives ved middelværdisætningen
∆(h) = (fx(c,b + h) − fx(c,b))h
Ved ombytning af x,y
for (c,d),(c ′ ,d ′ ) tæt ved (a,b).
= fxy(c,d)h 2
fyx(c ′ ,d ′ )h 2 = fxy(c,d)h 2
Konklusion ved kontinuitet af de dobbelte afledede.
2.24. Opgaver er sundt ☞ [S] 11.3 Partial derivatives
Øvelse 53
f(x,y) = x 2 y 3 − 2x 4 y
Find fxxx og fyxxx.
fx = 2xy 3 − 8x 3 y
fxx = 2y 3 − 24x 2 y
fxxx = −48xy
fyxxx = fxxxy = −48x
2.25. Mange opgaver er meget sundt ☞ [S] 11.3 Partial derivatives
Øvelse 55
f(x,y,z) = x 5 + x 4 y 4 z 3 + yz 2
Find fxyz.
fy = 4x 4 y 3 z 3 + z 2
fyx = 16x 3 y 3 z 3
fxyz = fyxz = 48x 3 y 3 z 2
2.26. Sidste opgave ☞ [S] 11.3 Partial derivatives
Øvelse 77
f(x,y) = x(x 2 + y 2 ) −3/2 e sin(x2 y)
Find fx(1,0).
f(1,0) = 1(1 2 + 0 2 ) −3/2 e 0 = 1
fx(1,0) = lim
x→1
x(x 2 + 0 2 ) −3/2 e 0 − 1
x − 1