A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

1. POLÆRE KOORDINATER OG KOMPLEKSE TAL 229
Division i C kan udtrykkes på polarform. For z1 = r1(cos θ1+isin θ1), z2 = r2(cos θ2+
isin θ2) = 0 gœlder
z1
z2
Så for komplekse tal z1,z2 = 0 er
= r1
[cos(θ1 − θ2) + isin(θ1 − θ2)]
r2
| z1
| =
z2
|z1|
|z2|
arg( z1
) = arg z1 − arg z2
z2
1.23. Potens på polarform ☞ [S] Appendix I Complex numbers
2 Sætning - De Moivre
Hvis z = r(cos θ + isin θ) og n et positivt helt tal, så gœlder
z n = [r(cos θ + isin θ)] n = r n (cos nθ + isin nθ)
n-te potens af et kompleks tal fremkommer ved at tage n-te potens af modulus og n gange
argument.
|z n | = |z| n
arg(z n ) = narg z
1.24. Potens på polarform ☞ [S] Appendix I Complex numbers
Eksempel 6
1 1
Find +
2 2 i
10 .
Løsning
z = 1 1 1√
π π
+ i = 2(cos + isin
2 2 2 4 4 )
så
z 10 √ 10 2
= (cos 10
2
π
+ isin 10π
4 4 )
= 25 5π 5π
(cos + isin
210 2 2 )
= 1
32 i
1.25. Test komplekse tal
Test
Det komplekse tal z = (2cos π + 2isin π)
☞ [S] Appendix I Complex numbers
2 er:
(a) z = 2. (b) z = −4. (c) z = 4.
Afkryds den rigtige:
(a) (b) (c)
Løsning
(2cos π + 2isin π) 2 = (2(cos π + isin π)) 2
= 2 2 (cos 2π + isin 2π)
= 4