A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

222 VII. SKALARPRODUKT OG PROJEKTION
Eksempel - fortsat
For u = (1,1,1),w = (−1,0,1),y = (3,3.6,6) er projektion af vektoren y på U =
span(u,w)
projU(y) = proju(y) + projw(y)
= y · u y · w
u +
u · u w · w w
= 12.6 3
(1,1,1) +
3 2 (−1,0,1)
= (2.7,4.2,5.7)
1.36. Cauchy-Schwarz ulighed ☞ [LA] 13 Andre sætninger om skalarprodukt
Sætning 20 (Cauchy-Schwarz’ ulighed)
For vektorer u,v gœlder
|u · v| ≤ u v
Bevis
Fra Pythagoras, Sætning 18, på de ortogonale vektorer v − proju(v),proju(v) fås
v 2 ≥ proju(v) 2
v · u
2 = u
u · u
2
Forlæng med u2 og uddrag kvadratroden.
1.37. Trekantsuligheden ☞ [LA] 13 Andre sætninger om skalarprodukt
Sætning 21 (Trekantsuligheden)
For vektorer u,v gœlder
u + v ≤ u + v
Bevis
Fra Cauchy-Schwarz ulighed
Uddrag kvadratroden.
u + v 2 ≤ u 2 + v 2 + 2u v
= (u + v) 2
1.38. Trekantsulighed ☞ [LA] 13 Andre sætninger om skalarprodukt
Trekantsulighed - figur
Indlysende trekantsulighed
u + v
u
v
u + v ≤ u + v