A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

har længde, som angiver den mindste afstand fra v til U
1. ORTOGONAL PROJEKTION 221
||v − u|| = ||(2, 1
2
27
=
2
= 3√
6
2
, −1
2 ,3)||
1.32. Tømrermester ☞ [LA] 12.2 Projektion på 2-dim. underrum
Tømrermester - figur
w = v proju(v)
v
proju(v)
To vektorer rettet op
1.33. Tømrermester ☞ [LA] 12.2 Projektion på 2-dim. underrum
Bemærkning
Lad u,v være ikke-parallelle vektorer der udspænder underrummet U. Sæt
v · u
w = v − proju(v) = v −
u · u u
Så er u,w ortogonale og udspænder U. Den ortogonale projektion af vektoren x på U er
da
projU(x) = proju(x) + projw(x)
= x · u x · w
u +
u · u w · w w
1.34. Tømrermester ☞ [LA] 12.2 Projektion på 2-dim. underrum
Eksempel (delvis 7 side 84)
Lad u = (1,1,1),v = (1,2,3) være vektorer der udspænder underrummet U. Sæt
v · u
w = v − proju(v) = v −
u · u u
= (1,2,3) − 2(1,1,1) = (−1,0,1)
Den ortogonale projektion af vektoren y = (3,3.6,6) på U er da
projU(y) = proju(y) + projw(y)
= y · u y · w
u +
u · u w · w w
1.35. Tømrermester ☞ [LA] 12.2 Projektion på 2-dim. underrum
u