A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

220 VII. SKALARPRODUKT OG PROJEKTION
hvor m = v1+v2+v3
3 .
1.28. Middelværdi ☞ [LA] 12.1 Mindste kvadraters metode
Eksempel 4
For y1,...,yn vil middelværdien
minimerer kvadratsummen
m = y1 + · · · + yn
n
(y1 − m) 2 + · · · + (yn − m) 2
Løsning
Sæt y = (y1,...,yn) og a = (1,...,1). Så er m bestemt ved
ma = proja(y) =
= y1 + · · · + yn
n
y · a
a · a a
1.29. Opgave ☞ Matematik Alfa 1, August 2002
Opgave 6
Betragt det lineære underrum U ⊂ R 4 , der er udspændt af vektorer u1 = (1,1, −1, −1)
og u2 = (0,1,1,0). Angiv den vektor u i U, der har kortest afstand til vektoren v =
(1,2,3,4).
Løsning
I følge Sætning 19 er u den ortogonale projektion af v på U.
Den korteste afstand er
||v − u||
1.30. Opgave ☞ Matematik Alfa 1, August 2002
Opgave 6 - fortsat
Vektorerne u1 = (1,1, −1, −1) og u2 = (0,1,1,0) har
u1 · u2 = 1 · 0 + 1 · 1 + (−1) · 1 + (−1) · 0 = 0
Fra Sætning 17 fås projektionen af v = (1,2,3,4)
u = projU(v) = proju1 (v) + proju2 (v)
= v · u1 v · u2
u1 +
u1 · u1
a
u2
u2 · u2
= −4
5
(1,1, −1, −1) +
4 2 (0,1,1,0)
= (−1, 3 7
2 , 2 ,1)
1.31. Opgave ☞ Matematik Alfa 1, August 2002
Opgave 6 - ekstra
Restvektoren
v − u = (1,2,3,4) − (−1, 3 7
2 , 2 ,1)
= (2, 1
2 , −1
2 ,3)