A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

Pythagoras som du kender den
1. ORTOGONAL PROJEKTION 219
a + b
a
b
a 2 + b 2 = a + b 2
1.25. Afstand til underrum ☞ [LA] 12 Ortogonal projektion
Sætning 19
Lad U ⊂ V = R n vœre et underrum. Antag at vektoren v har ortogonal projektion u på
U. Så er u den vektor i U, der har kortest afstand til v.
Bevis
For en vektor u − u ′ ∈ U gælder
v − (u − u ′ ) 2 = (v − u) + u ′ 2
i følge Pythagoras, Sætning 18, da (v − u) ⊥ u ′ .
= v − u 2 + u ′ 2
1.26. Mindste afstand ☞ [LA] 12 Ortogonal projektion
Sætning 19 - figur
v
v u
u u ′
Mindste afstand til underrum
v (u u ′ )
1.27. Afstand til linje ☞ [LA] 12 Ortogonal projektion
Eksempel
For en linje U = span(a) ⊂ R3 udspændt af vektoren a = (1,1,1) er den vektor i U med
kortest afstand til en vektor v = (v1,v2,v3) givet ved
v · a
proja(v) =
a · a a
Kvadratafstanden er
= v1 + v2 + v3
3
(1,1,1)
v − proja(v) 2 = (v1 − m) 2 + (v2 − m) 2 + (v3 − m) 2
U