A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

218 VII. SKALARPRODUKT OG PROJEKTION
Lad u1 = (1, −1,1),u2 = (1,2,1) ∈ R 3 være inbyrdes ortogonale vektorer der udspænder
underrummet U. Så er den ortogonale projektion
projU(v) = proju1 (v) + proju2 (v)
= v · u1 v · u2
u1 +
u1 · u1
= v1 − v2 + v3
3
= ( v1 + v3
2
u2
u2 · u2
(1, −1,1) + v1 + 2v2 + v3
6
,v2, v1 + v3
)
2
(1,2,1)
1.21. Projektion på basis ☞ [LA] 12 Ortogonal projektion
Eksempel 3
Betragtu1 = (1, 1
2 ,0, −1),u2 = (2,2, −1,3) ∈ R 4 samt underrummet U = span(u1,u2).
1. Vektorerne u1 og u2 er ortogonale:
u1 · u2 = 2 + 1
· 2 + 0 − 3 = 0
2
1.22. Projektion på basis ☞ [LA] 12 Ortogonal projektion
Eksempel 3 - fortsat
Betragtu1 = (1, 1
2 ,0, −1),u2 = (2,2, −1,3) ∈ R 4 samt underrummet U = span(u1,u2).
2. Lad v = (2,2,8, −6) og beregn
projU(v) = proju1 (v) + proju2 (v)
= v · u1 v · u2
u1 +
= 9
9
4
u1 · u1
u2
u2 · u2
(1, 1 −18
,0, −1) + (2,2, −1,3)
2 18
= (2,0,1, −7)
1.23. Pythagoras ☞ [LA] 12 Ortogonal projektion
Sætning 18 (Pythagoras)
Hvis a ⊥ b, så er
Bevis
a 2 + b 2 = a + b 2
a + b 2 = (a + b) · (a + b)
= a · a + 2a · b + b · b
= a 2 + b 2
1.24. Pythagoras ☞ [LA] 12 Ortogonal projektion
Pythagoras - figur