A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

Løsning
1. ORTOGONAL PROJEKTION 215
v1 + v2 + v3 = 0
2v1 + 3v2 + 4v3 = 0
⎛
⎝
v1
v2
v3
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
v3 1
⎠ = ⎝−2v3⎠
= v3 ⎝−2⎠
1
v3
1.9. Komplement ☞ [LA] 11 Skalarprodukt i R n
Komplement - figur
(1, 2,1)
x
z
U=span((1,1,1),(2,3,4))
1.10. Nedfæld vinkelret ☞ [LA] 12 Ortogonal projektion
Projektion - figur
v
u
y
w = v u ∈ U ⊥
Ortogonal projektion på underrum
1.11. Projektion ☞ [LA] 12 Ortogonal projektion
Definition
For et underrum U ⊂ V = R n er den ortogonale projektion af en vektor v på U den
vektor u ∈ U som opfylder
v − u = w ∈ U ⊥
Der gælder
Den ortogonale projektion betegnes
v = u + w, u ∈ U, w ∈ U ⊥
projU(v) = u
1.12. Projektion på koordinatplan ☞ [LA] 12 Ortogonal projektion
Eksempel
For underrumet U = span(e1,e2) ⊂ R n er den ortogonale projektion af en vektor v =
(v1,v2,...,vn) på U givet ved
projU(v) = u = (v1,v2,0,...,0)
U