A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

214 VII. SKALARPRODUKT OG PROJEKTION
Der gælder
0 ⊥ = V, V ⊥ = 0
1.5. Komplement ☞ [LA] 11 Skalarprodukt i R n
Komplement - eksempel
For u = (3,1) ∈ R 2 er det ortogonale komplement
bestemt ved ligningen, v = (v1,v2),
Løsning
v1
v2
=
{v|v · u = 0}
3v1 + v2 = 0
1 −3 v2
= v2
v2
1 −3 1
1.6. Komplement ☞ [LA] 11 Skalarprodukt i R n
Komplement - figur
span(u) ⊥
( 1
3 ,1)
y
1
u = (3,1)
1.7. Tømrersvend ☞ [LA] 11 Skalarprodukt i R n
Sætning (tømrerprincippet)
For en delmængde af vektorer X ⊂ V = R n som udspænder et underrum U ⊂ V er det
ortogonale komplement
X ⊥ = U ⊥
Altså gælder
w ⊥ U ⇔ w ⊥ x, ∀x ∈ X
1.8. Komplement ☞ [LA] 11 Skalarprodukt i R n
Komplement - eksempel
For U = span((1,1,1),(2,3,4)) ⊂ R 3 er det ortogonale komplement
U ⊥ = {v|v · u = 0, ∀u ∈ U}
bestemt ved ligningssystemet, v = (v1,v2,v3),
x