A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

20 I. DIFFERENTIATION
har partielle afledede
fx(x,y) = sin ′ ( x
d x
) ·
1 + y dx 1 + y
fy(x,y) = sin ′ ( x
d x
) ·
1 + y dy 1 + y
= cos( x 1
)
1 + y 1 + y
= cos( x −x
)
1 + y (1 + y) 2
2.12. Udregning af partielle afledede
Eksempel
☞ [S] 11.3 Partial derivatives
f(x,y) = ln(
1
har partielle afledede
og tilsvarende
fx(x,y) = ln ′ (
fy(x,y) =
1 + x2 )
+ y2 1
1 + x2 d
) ·
+ y2 dx
−2x
= (1 + x 2 + y 2 )
(1 + x2 + y2 ) 2
−2x
=
(1 + x2 + y2 )
−2y
(1 + x 2 + y 2 )
1
1 + x 2 + y 2
2.13. Test partielle afledede ☞ [S] 11.3 Partial derivatives
Test
Betragt funktionen f(x,y) = x3 − y2 + xy.
(a) fx = 3x2 − y2 + y. (b) fx = 3x3 − y2 + y.
(c) fx = 3x2 + y. (d) fx = 3x2 − 2y2 + y.
Løsning
For y fastholdt
Afkryds den rigtige påstand:
fx(x,y) = d
dx (x3 − y 2 + xy)
= 3x 2 − 0 + y
(a) (b) (c) (d)
2.14. Partielt afledt, grafisk ☞ [S] 11.3 Partial derivatives
Grafisk bestemmelse
y
2 0 2
Niveaukurver omkring (x0,y0) = (2,2).
Sæt g(h) = f(x0 + h,y0) og aflæs støttepunkter:
h
1
f(x,y)=1
0
1
2
3
2
x