A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

−1 −1 2
= −
3 4
1
10
−k −1 2
=
3 4
1
(−10) k
4. DETERMINANTER 191
4.23. Determinant af alle potenser ☞ [LA] 8 Determinanter
Eksempel
Potensreglen for determinant
• Hvis |A| = 0 så
for alle hele tal k.
• Hvis |A| = 0 så
for alle hele tal k > 0.
|A k | = |A| k
|A k | = 0
4.24. Jacobimatricen ☞ [LA] 2.2 Kædereglen i matrix-formulering
Definition
For en differentiabel afbildning g : R n → R n
(u1,...,un) ↦→ (g1(u1,...,un),...,gn(u1,...,un))
er Jacobideterminanten determinanten af Jacobimatricen
∂g1
∂u1
|du(g)| =
.
.
∂gn
...
. ..
...
∂g1
∂un
.
.
∂gn
∂u1
4.25. Jacobimatricen ☞ [LA] 2.2 Kædereglen i matrix-formulering
Eksempel
For afbildning g : R 2 → R 2
er Jacobideterminanten
∂un
(u1,u2) ↦→ (u 2 1 + u 2 2,u1u2)
∂g1 ∂g1
∂u1 ∂u2
|du(g)| = ∂g2 ∂g2
∂u1 ∂u2
|du(g)| =
2u1
2u2
= 2u21 − 2u 2 2
u2 u1
4.26. Ligningssystem og determinant ☞ [LA] 8 Determinanter
Sætning 13 (Entydig løsning)
(1) Et homogent ligningssystem med en kvadratisk koefficientmatrix A har en egentlig
løsning (= 0) (uendelig mange), hvis og kun hvis |A| = 0.
(2) Det inhomogen ligningssystem
Ax = b
har en og kun en løsning, hvis og kun hvis |A| = 0.