A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

4. DETERMINANTER 185
Hvis AB = I har alle ligningssystemer Ax = b en løsning x = Bb. Den reducerede
form af A kan da ikke have en 0-række og er derfor enhedsmatricen I. Altså findes en
matrix C så CA = I. Til slut er C = C(AB) = (CA)B = B.
3.29. Invers ved operationer ☞ [LA] 7 Rækkeoperations-matricer
Sætning
En kvadratisk matrix A er invertibel, hvis og kun hvis dens reducerede form er enhedsmatricen
I. I så fald er den augmenterede matrix
(A|I) ∼ (I|A −1 )
”Den inverse matrix beregnes ved rækkeoperationer på den augmenterede matrix.”
3.30. Invers 2x2-matrix
Eksempel 4
☞ [LA] 6 Løsningsteknik
Løs matrixligningen, i.e. beregn invers,
2 1 x11
5 3 x21
x12 1
=
x22 0
0
1
2
5
1 1 0 2 1 1 0
∼ 1
3 0 1 0 2 −5
2
∼
2 1 0
2 0 6 −2 1 0 3
∼
∼
0 1 −5 2 0 1 −5
1 1
1 −5
−1
2
0
2
3.31. Invers 2x2-matrix ☞ [LA] 6 Løsningsteknik
Eksempel 4 - fortsat
Rækkereduktionen
giver den inverse
2 1 1 0
5 3 0 1
∼
−1 2 1
=
5 3
1 0 3 −1
0 1 −5 2
3
−1
−5 2
3.32. Invers 2x2-matrix ☞ [LA] 6 Løsningsteknik
Eksempel 4 - forsat
Gør prøve
Udregn
−1 2 1
=
5 3
2
1 3
−1
5 3 −5 2
3
−1
−5 2
=
4. Determinanter
1 0
0 1
4.1. Oversigt ☞ [LA] 8
Nøgleord og begreber
✌ Helt simple determinanter
✌ Determinant defineret