A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

More documents

Recommendations

Info

182 V. MATRICER Rækkeoperationer på et ligningssystem svarer <strong>til</strong> rækkeoperationer på den augmenterede matrix. Det reducerede ligningssystem opskrives fra den reducerede matrix. 3.16. Strategi på matrix form ☞ [LA] 6 Løsningsteknik Eksempel’ - igen 2x1 − 2x2 − 4x3 − 6x4 = −16 3x1 − 2x2 − 4x3 − 3x4 = −20 −2x1 + 5x2 + 10x3 + 21x4 = 34 ⎛ ⎝ 2 −2 −4 −6 −16 3 −2 −4 −3 −20 −2 5 10 21 34 3.17. Øvelse gør mester Eksempel’ - igen fortsat ☞ [LA] 6 Løsningsteknik ⎛ 2 −2 −4 −6 ⎞ −16 ⎛ 2 −2 −4 −6 ⎞ −16 ⎝ 3 −2 −4 −3 −20 ⎠ ∼ ⎝ 0 1 2 6 4 ⎠ −2 5 10 21 34 −2 5 10 21 34 ⎛ ∼ ⎝ 2 −2 −4 −6 −16 0 1 2 6 4 0 3 6 15 18 ⎞ ⎛ ⎠ ∼ ⎝ ⎞ ⎠ 2 −2 −4 −6 −16 0 1 2 6 4 0 0 0 −3 6 3.18. Atter øvelse Eksempel’ - igen fortsat ☞ [LA] 6 Løsningsteknik ⎛ 2 −2 −4 −6 ⎞ −16 ⎛ 2 −2 −4 −6 ⎞ −16 ⎝ 0 1 2 6 4 ⎠ ∼ ⎝ 0 1 2 6 4 ⎠ 0 0 0 −3 6 0 0 0 1 −2 ⎛ ∼ ⎝ 2 −2 −4 0 −28 0 1 2 0 16 0 0 0 1 −2 ⎞ ⎛ ⎠ ∼ ⎝ 2 0 0 0 4 0 1 2 0 16 0 0 0 1 −2 3.19. Afslut elegant Eksempel’ - igen fortsat ☞ [LA] 6 Løsningsteknik ⎛ 2 −2 −4 −6 ⎞ −16 ⎛ 1 0 0 0 2 ⎞ ⎝ 3 −2 −4 −3 −20 ⎠ ∼ ⎝ 0 1 2 0 16 ⎠ −2 5 10 21 34 0 0 0 1 −2 Det reducerede ligningssystem x1 = 2 x2 + 2x3 = 16 x4 = −2 3.20. En fri tre bundne ☞ [LA] 6 Løsningsteknik Eksempel’ - igen fortsat ⎞ ⎠ ⎞ ⎠
Løsning På matrix form hvor x3 vælges frit. ⎛ ⎜ ⎝ x1 x2 x3 x4 3. LINEÆRE LIGNINGER 183 x4 = −2 x2 = 16 − 2x3 x1 = 2 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎞ 2 ⎜ ⎜16 − 2x3 ⎟ ⎝ ⎠ = ⎛ ⎞ 2 ⎜ ⎜16 ⎟ ⎝ 0 ⎠ −2 x3 −2 + x3 ⎛ ⎞ 0 ⎜ ⎜−2 ⎟ ⎝ 1 ⎠ 0 3.21. Enten-eller ☞ [LA] 6 Løsningsteknik Enten-eller-princip (22) En kvadratisk matrix kan ved rækkeoperationer • enten føres over i identitetsmatricen • eller føres over i en matrix med en nulrække nederst Bevis Matricen på reduceret trappeform ⎛ ⎜ ⎝ 1 ? 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3.22. Struktur er sagen ☞ [LA] 6 Løsningsteknik Sætning 9 Et homogent ligningssystem, hvor der er flere ubekendte end ligninger, har altid uendelig mange løsninger. Bevis Koefficientmatricen har flere søjler end rækker. Den reducerede matrix ⎛ ⎞ 0 0 1 ? ? 0 ? ? 0 ⎜ 0 0 0 0 0 1 ? ? 0 ⎟ ⎝ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ⎠ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎠ har mindst 1 pivotfri søjle. Altså er der parametre i løsningen. 3.23. Test ligningssystem Test ☞ [LA] 6 Løsningsteknik Et homogent lineært ligningssystem med 4 ubekendte og 3 ligninger har: (a) Altid højst 1 løsning. (b) Altid uendelig mange løsninger. (c) Undertiden ingen løsninger. (d) Mindst 1 løsning. Afkryds de to rigtige: (a) (b) (c) (d) Løsning Sætning 9 sikrer uendelig mange løsninger. 3.24. En sjov variation ☞ [LA] 6 Løsningsteknik
Page 1:
CALCULUS "SLIDES" TIL CALCULUS 1 +
Page 4 and 5:
4 INDHOLD 2. Januar 2003 243 3. Jan
Page 7 and 8:
I Differentiation 1. Kontinuitet 1.
Page 9 and 10:
1. KONTINUITET 9 Grafen af f(x,y) =
Page 11 and 12:
1. KONTINUITET 11 1.14. Udvid til m
Page 13 and 14:
(2) De kendte elementære funktione
Page 15 and 16:
1. KONTINUITET 15 Et polært koordi
Page 17 and 18:
I kartesiske koordinater ved I pol
Page 19 and 20:
2. PARTIELLE AFLEDEDE 19 2.7. Skriv
Page 21 and 22:
2. PARTIELLE AFLEDEDE 21 h −2.0
Page 23 and 24:
2. PARTIELLE AFLEDEDE 23 2.22. Der
Page 25 and 26:
3. TANGENTPLAN 25 2.31. Test Laplac
Page 27 and 28:
Indsættes 3. TANGENTPLAN 27 (x,y,z
Page 29 and 30:
I punktet (1,2) er den lineære app
Page 31 and 32:
3. TANGENTPLAN 31 3.24. Skriv diffe
Page 33 and 34:
4. KÆDEREGLEN 33 4. Kædereglen 4.
Page 35 and 36:
der har kædereglen som grænsevær
Page 37 and 38:
4. KÆDEREGLEN 37 4.18. Jacobimatri
Page 39 and 40:
4. KÆDEREGLEN 39 4.26. Test implic
Page 41 and 42:
x 5. GRADIENT 41 z z = sin xy 5.5.
Page 43 and 44:
Heraf f.eks. 5. GRADIENT 43 z Duf(x
Page 45 and 46:
Eksempel 3 Gradienten af i punktet
Page 47 and 48:
5. GRADIENT 47 For den retningsafle
Page 49 and 50:
5. GRADIENT 49 Betragt funktionen f
Page 51 and 52:
6. MAKSIMUM/MINIMUM 51 6.3. Lokalt
Page 53 and 54:
6. MAKSIMUM/MINIMUM 53 6.10. 1. ord
Page 55 and 56:
6. MAKSIMUM/MINIMUM 55 6.18. 2. ord
Page 57 and 58:
6. MAKSIMUM/MINIMUM 57 6.26. Lokalt
Page 59 and 60:
Relevante punkter, x,y > 0, fås fo
Page 61 and 62:
x 6. MAKSIMUM/MINIMUM 61 3 (3,2) 6.
Page 63 and 64:
7. LAGRANGEMETODEN 63 7.2. Skitse
Page 65 and 66:
7. LAGRANGEMETODEN 65 Lagranges lig
Page 67 and 68:
Der løses Løsningen er da Kantlæ
Page 69 and 70:
Bestem ekstremumsværdier af under
Page 71:
7. LAGRANGEMETODEN 71 Ved indsætte
Page 74 and 75:
74 II. INTEGRATION Bemærkning n i=
Page 76 and 77:
76 II. INTEGRATION y d c a b x (x i
Page 78 and 79:
78 II. INTEGRATION Volumen 1 2 π12
Page 80 and 81:
80 II. INTEGRATION 1.26. Midtpunkte
Page 82 and 83:
82 II. INTEGRATION Bevis g ′ g(x
Page 84 and 85:
84 II. INTEGRATION Itereret integra
Page 86 and 87:
86 II. INTEGRATION Itereret integra
Page 88 and 89:
88 II. INTEGRATION Eksempel 3 - for
Page 90 and 91:
90 II. INTEGRATION Løsning R xlny
Page 92 and 93:
92 II. INTEGRATION y = g2(x) y = g1
Page 94 and 95:
94 II. INTEGRATION Givet funktionen
Page 96 and 97:
96 II. INTEGRATION x = 1 2 y3 3 y 4
Page 98 and 99:
98 II. INTEGRATION 3.29. Kile ☞ [
Page 100 and 101:
100 II. INTEGRATION 3.37. Et slag p
Page 102 and 103:
102 II. INTEGRATION Areal af {(r,θ
Page 104 and 105:
104 II. INTEGRATION 4.16. Integral
Page 106 and 107:
106 II. INTEGRATION Det er {(r,θ,z
Page 108 and 109:
108 II. INTEGRATION Løsning y R =
Page 110 and 111:
110 II. INTEGRATION Opgave 1 - alte
Page 112 and 113:
112 III. POTENSRÆKKER kaldes ubest
Page 114 and 115:
114 III. POTENSRÆKKER Løsning Afk
Page 116 and 117:
116 III. POTENSRÆKKER og divergent
Page 118 and 119:
118 III. POTENSRÆKKER (b) ∞ a g
Page 120 and 121:
120 III. POTENSRÆKKER • monoton:
Page 122 and 123:
122 III. POTENSRÆKKER Rækken er d
Page 124 and 125:
124 III. POTENSRÆKKER Rækken har
Page 126 and 127:
126 III. POTENSRÆKKER Skrives ogs
Page 128 and 129:
128 III. POTENSRÆKKER 3.15. Geomet
Page 130 and 131:
130 III. POTENSRÆKKER 3.24. Koeffi
Page 132 and 133: 132 III. POTENSRÆKKER 3.33. Opgave
Page 134 and 135: 134 III. POTENSRÆKKER Hvis k er et
Page 136 and 137: 136 III. POTENSRÆKKER 4.14. Kubikr
Page 138 and 139: 138 III. POTENSRÆKKER Altså Tn(x)
Page 140 and 141: 140 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER Løsn
Page 142 and 143: 142 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER I et
Page 144 and 145: 144 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER Løsn
Page 146 and 147: 146 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER så e
Page 148 and 149: 148 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER 2.14.
Page 152 and 153: 152 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER Opgav
Page 158 and 159: 158 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER W 100
Page 160 and 161: 160 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER y2 3.
Page 162 and 163: 162 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER er de
Page 164 and 165: 164 V. MATRICER 1.4. Rummet ☞ [LA
Page 166 and 167: 166 V. MATRICER Mængden af alle re
Page 168 and 169: 168 V. MATRICER 1.20. Øvelse ☞ [
Page 170 and 171: 170 V. MATRICER 1.28. Span af enhed
Page 172 and 173: 172 V. MATRICER Bevis f((x1,y1) + (
Page 174 and 175: 174 V. MATRICER med alle diagonal i
Page 176 and 177: 176 V. MATRICER 2.20. Koefficient m
Page 178 and 179: 178 V. MATRICER Bevis Simple regner
Page 180 and 181: 180 V. MATRICER Eksempel - fortsat
Page 184 and 185: 184 V. MATRICER Eksempel 4 Løs mat
Page 186 and 187: 186 V. MATRICER ✌ Effektive regne
Page 188 and 189: 188 V. MATRICER • Ombytning af to
Page 190 and 191: 190 V. MATRICER k −1 2 =
Page 192 and 193: 192 V. MATRICER 4.27. Bestem entydi
Page 194 and 195: 194 VI. EGENVEKTORER OG DIAGONALISE
Page 213 and 214: VII Skalarprodukt og projektion 1.
Page 215 and 216: Løsning 1. ORTOGONAL PROJEKTION 21
Page 217 and 218: 1. ORTOGONAL PROJEKTION 217 1.17. P
Page 219 and 220: Pythagoras som du kender den 1. ORT
Page 221 and 222: har længde, som angiver den mindst
Page 223 and 224: VIII Appendiks 1. Polære koordinat
Page 225 and 226: Multiplikation: 1. POLÆRE KOORDINA
Page 227 and 228: 1. POLÆRE KOORDINATER OG KOMPLEKSE
Page 229 and 230: 1. POLÆRE KOORDINATER OG KOMPLEKSE
Page 231 and 232: Enhver polynomiumsligning 1. POLÆR
Page 233 and 234:
IX Opgaver 1. August 2002 1.1. Over
Page 235 and 236:
x 1. AUGUST 2002 235 z R = {(x,y)|0
Page 237 and 238:
1. AUGUST 2002 237 1.15. Diagonalis
Page 239 and 240:
Dermed er Det følger, at f(x) = 1.
Page 241 and 242:
Opgave 5 - figur y 1 0 1 1. AUGUST
Page 243 and 244:
Opgave 7 - retningsfelt 2. JANUAR 2
Page 245 and 246:
for En løsning er 2. JANUAR 2003 2
Page 247 and 248:
2. JANUAR 2003 247 2.14. Angiv egen
Page 249 and 250:
2. JANUAR 2003 249 1) Fra Sætning
Page 251 and 252:
2. JANUAR 2003 251 y(x) = 6 + 2 x 2
Page 253 and 254:
Løsning Den afledede er h ′ (x)
Page 255 and 256:
3. JANUAR 2004 255 Opgave 3. Lad a
Page 257 and 258:
3. JANUAR 2004 257 viser at u 1 og
Page 259 and 260:
4. AUGUST 2004 259 4. August 2004 O
Page 261 and 262:
Opgave 5. Betragt følgende vektore
Page 263 and 264:
5. JANUAR 2005 263 5. Januar 2005 O
Page 265 and 266:
Opgave 4. For et vilkårligt reelt
Page 267:
5. JANUAR 2005 267 1) Undersøg hvi
Page 271 and 272:
0-række/søjle, 187 n-te afsnitssu
Page 273:
ubestemt af form 0 , 111 0 ubestemt
show all

A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?