A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

2. LINEÆRE AFBILDNINGER 177
Den fuldstændige løsning er
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x1 −x2 − x3 + 1 1 −x2 −x3
⎝x2⎠
= ⎝ x2 ⎠ = ⎝0⎠
+ ⎝ x2 ⎠ + ⎝ 0 ⎠
0 0
x3
x3
hvor både x2 og x3 kan vælges frit.
⎛ ⎞
1
⎛ ⎞
−1
⎛ ⎞
−1
= ⎝0⎠
+ x2 ⎝ 1 ⎠ + x3 ⎝ 0 ⎠
0 0 1
2.25. Løsningsrummet ☞ [LA] 5 Lineære ligningssystemer
Sætning 7
Løsningsmœngden til et homogent lineœrt ligningssystem med n ubekendte
er et lineœrt underrum
kaldet løsningsrummet eller nulrummet.
Ax = 0
NA ⊂ R n
Bevis
Simple regneregler for matrix multiplikation giver
Ax = 0, Ay = 0 ⇒ A(x + y) = 0
2.26. 2 ligninger 4 ubkendte ☞ [LA] 5 Lineære ligningssystemer
Eksempel
x1 + x2 = 0
x3 + x4 = 0
(1) x3 = −x4 og x1 = −x2.
(2) x4 og x2 kan vælges frit.
2.27. 2 ligninger 4 ubkendte ☞ [LA] 5 Lineære ligningssystemer
Eksempel - fortsat
⎛ ⎞
x1
⎜x2⎟
⎜ ⎟
⎝x3⎠
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−x2 −1 0
⎜ x2 ⎟ ⎜
⎜ ⎟
⎝−x4⎠
= x2
⎜ 1 ⎟ ⎜
⎟
⎝ 0 ⎠ + x4
⎜ 0 ⎟
⎝−1⎠
0 1
x4
Løsningsrummet er span af vektorerne
⎛ ⎞
−1
⎜ 1 ⎟
⎝ 0 ⎠
0
,
⎛ ⎞
0
⎜ 0 ⎟
⎝−1⎠
1
x4
2.28. Løsninger og nulrum ☞ [LA] 5 Lineære ligningssystemer
Sætning 8
Givet en partikulœr løsning u til det lineœre ligningssystem med n ubekendte
så er løsningsmœngden
Ax = b
{x ∈ R n |Ax = b} = u + NA
x3