A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

Heraf Matr(f) =
Prøve
0
1 x
1 1 y
2. LINEÆRE AFBILDNINGER 173
0 1
1 1
=
y
x + y
2.8. Multiplicere = sammensætte ☞ [LA] 3 Lineære funktioner
Sætning 6
Lad f,g vœre lineœre afbildninger
R n f
−−−−→ Rm Så er den sammensatte afbildning g ◦ f lineœr og
g
−−−−→ R p
Matr(g ◦ f) = Matr(g)Matr(f)
Bevis
For f(u) = Au, g(v) = Bv giver den associative lov
g ◦ f(u) = g(f(u)) = B(Au) = (BA)u
2.9. Test matrix-afbildning ☞ [LA] 3 Lineære funktioner
Test
Den⎛lineære afbildning ⎞ ⎛f(x,y)
= ⎞(x
+ y,x − y,y) har tilhørende matrix Matr(f):
1 1 1 1
(a) ⎝1
−1⎠.
(b) ⎝1
−1⎠.
1 1 0
(c)
.
1 −1 1
0 0 0 1
Løsning
Søjlerne i 3 × 2-matricen er
Afkryds den korrekte:
f(1,0) = (1,1,0), f(0,1) = (1, −1,1)
(a) (b) (c)
2.10. Invers matrix ☞ [LA] 4 Inverse matricer
Definition
En kvadratisk n × n-matrix A har en invers matrix B, hvis
B er entydigt bestemt og betegnes
A kaldes invertibel.
Bevis
Entydighed: For AC = I = CA er
AB = In = BA
B = A −1
B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C
2.11. Invers diagonalmatrix
Eksempel
☞ [LA] 4 Inverse matricer
En diagonal n × n-matrix
⎛ ⎞
Λ =
λ1 0 ...
.
0 ..
⎟
0 ⎟
⎠
. 0 λn
⎜
⎝