A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

172 V. MATRICER
Bevis
f((x1,y1) + (x2,y2)) = f(x1 + x2,y1 + y2)
Tilsvarende for skalarmultiplikation.
= (y1 + y2,x1 + x2 + y1 + y2)
= (y1,x1 + y1) + (y2,x2 + y2)
= f(x1,y1) + f(x2,y2)
2.4. Matrix til lineær afbildning ☞ [LA] 3 Lineære funktioner
Definition
For en m × n-matrix A defineres en afbildning
ved
R n → R m
u ↦→ Au
Eksempel
u1 1 2 u1 u1 + 2u2
↦→
=
u2 3 4 u2 3u1 + 4u2
2.5. Matrix til lineær afbildning ☞ [LA] 3 Lineære funktioner
Sætning 4
Funktionen f : R n → R m
f(u) = Au
defineret ved en m × n-matrix A er lineœr
f(u + v) = f(u) + f(v)
f(αu) = αf(u)
Bevis
A(u + v) = Au + Av, A(αu) = αAu
Fra de simple regneregler for matrix multiplikation.
2.6. Lineær afbildning til matrix ☞ [LA] 3 Lineære funktioner
Sætning 5
Enhver lineœr afbildning f : R n → R m fremkommer fra en entydig bestemt m×n-matrix
Bemærk
A = Matr(f)
f(u) = Au
f(ej) = a •j
“j-te søjle i matricen for f er billedet af j-te enhedsvektor i R n .”
2.7. Opgave ☞ [LA] 3 Lineære funktioner
Opgave
Find Matr(f) for den lineære afbildningen f(x,y) = (y,x + y).
Løsning
Søjlerne i Matr(f) er
1 0
0
f(e1) = f( ) = , f(e2) = f( ) =
0 1
1
1
1