A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

2. 1. ORDENS LIGNINGER 153
2.36. Opgave ☞ [LA] 15 Lineært system
Opgave 2 - fortsat
Den fuldstændige løsning til den homogene part
er i følge [LA] Sætning 30
Skrevet ud
y(x) = C1e −x
y ′ 1 = y1 + 2y2
y ′ 2 = 2y1 + y2
−1
+ C2e
1
3x
y1(x) = −C1e −x + C2e 3x
y2(x) = C1e −x + C2e 3x
1
1
2.37. Opgave ☞ [LA] 15 Lineært system
Opgave 2 - fortsat
En konstant løsning y(x) = v = (v1,v2) skal opfylde
Løsning
Dette løses
0 = v1 + 2v2 − 8
0 = 2v1 + v2 − 7
v =
2
3
2.38. Opgave ☞ [LA] 15 Lineært system
Opgave 2 - fortsat
Den fuldstændige løsning til systemet
er i følge [LA] Sætning 31
Skrevet ud
y(x) = C1e −x
y ′ 1 = y1 + 2y2 − 8
y ′ 2 = 2y1 + y2 − 7
−1
+ C2e
1
3x
1
+
1
y1(x) = −C1e −x + C2e 3x + 2
y2(x) = C1e −x + C2e 3x + 3
2
3
2.39. Ingen egenværdier ☞ [LA] 15 Lineært system
Eksempel 2
Betragt det lineære system
Koefficientmatricen
y ′ 1 = y1 − y2
y ′ 2 = y1 + y2
A =
1 −1
1 1
har karakteristisk polynomium λ 2 − 2λ + 2 med diskriminant −4 og dermed ingen egenværdier.