A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

2. 1. ORDENS LIGNINGER 147
2.10. 1. ordens lineær ligning ☞ [LA] 14 Lineær differentialligning
Sætning 23, 25 - Bevis
opfylder ligningen
som integreres til
og forlænges til
z(x) = e −A(x) y(x)
dz
dx = e−A(x) b(x)
z(x) = B(x) + C
y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x)
2.11. 1. ordens lineær ligning ☞ [LA] 14 Lineær differentialligning
Metode
dy
= a(x)y + b(x)
dx
1. Bestem en stamfunktion
A(x) = a(x)dx
2. Bestem en stamfunktion
3. Skriv løsningen
B(x) = e −A(x) b(x)dx
y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x)
2.12. Opgave ☞ Matematik Alfa 1, August 2002
Opgave 1
Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningen
y ′ + 2y = xe −2x + 3
Angiv endvidere den partikulære løsning y(x), der opfylder y(0) = 2.
Løsning
giver
y ′ = −2y + (xe −2x + 3)
a(x) = −2,b(x) = xe −2x + 3
2.13. Opgave
Opgave 1 - fortsat
☞ Matematik Alfa 1, August 2002
A(x) = a(x)dx = −2dx = −2x
B(x) = e −A(x)
b(x)dx = e 2x (xe −2x + 3)dx
Som giver
= 1
2 x2 + 3
2 e2x