A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

146 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER
så er enhver løsning af formen
y(x) = z(x) + z0(x)
hvor z(x) er en løsning til den homogene part af systemet.
2.6. 1. ordens lineær ligning ☞ [LA] 14 Lineær differentialligning
Sætning 23
Den lineœre ligning med konstante koefficienter
har fuldstœndig løsning givet ved
a = 0:
a = 0:
hvor C er arbitrœr.
dy
= ay + b
dx
y(x) = C + bx
y(x) = Ce ax − b
a
2.7. 1. ordens lineær ligning ☞ [LA] 14 Lineær differentialligning
Sætning 24
Den homogene lineœre ligning
dy
= a(x)y
dx
har fuldstœndig løsning
y(x) = Ce A(x)
hvor C er arbitrœr og
A(x) = a(x)dx
2.8. 1. ordens lineær ligning
Sætning 24 - Bevis
☞ [LA] 14 Lineær differentialligning
dy
= a(x)y
dx
er separabel med løsninger
dy
y =
a(x)dx
ln |y| = A(x) + K
y(x) = Ce A(x)
2.9. 1. ordens lineær ligning ☞ [LA] 14 Lineær differentialligning
Sætning 25
Den generelle lineœre ligning
dy
= a(x)y + b(x)
dx
har fuldstœndig løsning
y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x)
hvor C er arbitrœr og
A(x) = a(x)dx, B(x) = e −A(x) b(x)dx