A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

142 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER
I et givet punkt (x1,y1) vil en tangent have ligning
y = y1 + (x 2 1 + y 2 1 − 1)(x − x1)
1.13. Grafisk løsning ☞ [S] 7.2 Direction fields and Euler’s method
Retningsfelt
y
1
0 1
1.14. Eulers metode ☞ [S] 7.2 Direction fields and Euler’s method
Eulers metode
For begyndelsesværdiproblemet
y ′ = x + y, y(0) = 1
prøver vi at tilnærme løsningen y(x) med differentialet i små intervaller.
I et givet punkt (xn,yn) vil differentialet være
og
dy = (xn + yn)dx
y ≈ yn + (xn + yn)(x − xn)
1.15. Eulers metode ☞ [S] 7.2 Direction fields and Euler’s method
Eulers metode
giver rekursionen
For en inddeling på x-aksen
y ≈ yn + (xn + yn)(x − xn)
yn+1 = yn + (xn + yn)(xn+1 − xn)
x0,x1,...,xn,xn+1,...
tabellægges tilnærmelser til funktionsværdierne
yn ≈ y(xn)
1.16. Eulers metode ☞ [S] 7.2 Direction fields and Euler’s method
Eulers metode
Tabellæg løsning til
y ′ = x + y, y(0) = 1
x0 = 0, y0 = 1
x