A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

132 III. POTENSRÆKKER
3.33. Opgave ☞ Matematik Alfa 1, August 2002
Opgave 4 - Løsning
Divideres ledvis med x 4 fås
cos x = 1 − x2
2!
cos(x 2 ) − 1 = (1 − x4
2!
= − x4
2!
+ x8
4!
+ x4
4!
+ x8
4!
− x12
6!
− ...
− x12
6!
+ ...
− 1 x4 x8
+ − + ...
2! 4! 6!
+ ...) − 1
3.34. Opgave ☞ Matematik Alfa 1, August 2002
Opgave 4 - Løsning fortsat
Dermed er
∞
n 1
f(x) = (−1)
Det følger, at
n=1
(2n)! x4(n−1)
= − 1 1
+
2! 4! x4 − 1
6! x8 + 1
8! x12 − ...
lim f(x) = −1
x→0 2
3.35. Potensrækkeløsning ☞ [S] 8.10 Using . . . diff. eq.
Eksempel 1
y ′′ + y = 0
Vi søger en løsning af form
y(x) = c0 + c1x + c2x 2 + c3x 3 + ...
y ′ (x) = c1 + 2 · c2x + 3 · c3x 2 + 4 · c4x 3 + ...
y ′′ (x) = 2 · c2 + 3 · 2 · c3x + 4 · 3 · c4x 2 + 5 · 4 · c5x 3 + ...
3.36. Potensrækkeløsning ☞ [S] 8.10 Using . . . diff. eq.
Eksempel 1 - fortsat
y(x) + y ′′ (x) = (c0 + 2c2) + (c1 + 3 · 2 · c3)x + (c2 + 4 · 3 · c4)x 2 + ...
Fra y + y ′′ = 0 fås at alle koefficienterne må være 0, altså
c0 + 2c2 = 0
c1 + 3 · 2c3 = 0
c2 + 4 · 3c4 = 0
3.37. Potensrækkeløsning ☞ [S] 8.10 Using . . . diff. eq.
Eksempel 1 - fortsat
c0 og c1 kan vælges frit, derefter bestemmes c2,c3,c4,... ved rekursion. Med f.eks. c0 =
1 og c1 = 0 fås
c2 = − 1
2 ,