A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

Denne rækkeudvikling kan også udledes ved at differentiere
3. POTENSRÆKKER 131
sin x = x − x3
3!
+ x5
5!
− ...
3.29. Gauss’ fejlintegral ☞ [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series
Eksempel 8
Substitueres −x 2 for x i eksponentialrækken, fås
eller
(for alle x).
e −x2
= 1 − x 2 + 1
2! x4 − 1
3! x6 + ...
e −x2
∞ (−1)
=
n
n=0
n! x2n
3.30. Gauss’ fejlintegral ☞ [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series
Eksempel 8 - fortsat
For f(x) = e−x2 dx (med f(0) = 0) er en rækkeudvikling med centrum i 0
e −x2
∞
(−1)
dx =
n
e −x2
∞
dx =
n=0
n=0
n! x2n
(−1) n
(2n + 1)n! x2n+1
3.31. Gauss’ fejlintegral (fortsat)
Eksempel 8 - fortsat
e −x2
dx = x − x3 x5 x7 x9
+ − + − ...
3 · 1! 5 · 2! 7 · 3! 9 · 4!
1
0
e −x2
dx =
= 1 − 1
3 · 1!
Sum af de anførte led,
sand værdi 0.746824...
x − x3
1
x5 x7 x9
+ − + − ...
3 · 1! 5 · 2! 7 · 3! 9 · 4! 0
1 1 1
+ − + − ...
5 · 2! 7 · 3! 9 · 4!
0.747487...
3.32. Opgave ☞ Matematik Alfa 1, August 2002
Opgave 4
Angiv en potensrække i x, der for x = 0 fremstiller funktionen
Angiv også grænseværdien
f(x) = cos(x2 ) − 1
x 4
lim
x→0 f(x).