A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

130 III. POTENSRÆKKER
3.24. Koefficienter ☞ [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series
5 Sætning
Hvis en potensrœkke med centrum i a har konvergensradius R > 0, så har sumfunktionen
∞
f(x) = cn(x − a) n
koefficienter
n=0
cn = f(n) (a)
n!
3.25. Taylorrække ☞ [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series
Definition
En vilkårlig ofte differentiabel funktion f(x) har Taylorrække om a
∞
6 f(x) =
og Maclaurinrække, a = 0,
n=0
7 f(x) =
f (n) (a)
(x − a)
n!
n
∞
n=0
f (n) (0)
x
n!
n
3.26. Eksponentialrækken som Maclaurin række ☞ [S] 8.7 Taylor . . .
Eksempel 1
For f(x) = e x er f (n) (x) = e x for alle n. Så er f (n) (0) = e 0 = 1 for alle n, så Maclaurin
rækken for e x er
e x =
∞
n=0
1
n! xn
3.27. Sinusrække som Maclaurin række ☞ [S] 8.7 Taylor . . .
Eksempel 4
For f(x) = sin x er sin ′ x = cos x og cos ′ x = −sin x. Så
Maclaurin rækken er
15 sin x = x − x3
3!
f(0) = 0,f ′ (0) = 1,
f ′′ (0) = 0,f ′′′ (0) = −1,
f 4 (0) = 0
0,1,0, −1,0,1,0, −1,0,1,0, −1,0,1,...
+ x5
5!
− x7
7!
+ ...
3.28. Cosinusrække som Maclaurin række ☞ [S] 8.7 Taylor . . .
Eksempel 5
For f(x) = cos x,
Maclaurin rækken er
f(0) = 1,f ′ (0) = 0,f ′′ (0) = −1,f ′′′ (0) = 0,...
1,0, −1,0,1,0, −1,0,1,0, −1,...
cos x = 1 − x2
2!
+ x4
4!
− ...