A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

122 III. POTENSRÆKKER
Rækken er da konvergent
∞
n=1
1
= 1
n(n + 1)
2.20. Geometrisk række ☞ [S] 8.2 Series
4 Sætning (Geometrisk række)
Den geometriske række
∞
n=0
er konvergent for |r| < 1 med sum
ar n = a + ar + ar 2 + ...
∞
n=0
Rækken er divergent for øvrige r (a = 0).
ar n = a
1 − r
2.21. Bevis geometrisk række ☞ [S] 8.2 Series
Bevis
Afsnitssummen findes som kvotientrække
sn = a + ar + ar 2 + · · · + ar n 1 − rn+1
= a
1 − r
Så rækken er konvergent for |r| < 1 med sum
∞
ar n = a
1 − r
n=0
2.22. En sum findes ☞ [S] 8.2 Series
Eksempel
Den geometriske række
har r = 1
2 og er konvergent.
Summen findes
∞
n=0
∞
n=0
1
2 n
1 1
=
2n 1 − 1
2
2.23. Led forsvinder ☞ [S] 8.2 Series
6 Sætning
Hvis rœkken ∞
n=1 an er konvergent, så gœlder
Bevis
Antag sn → s når n → ∞.
når n → ∞.
lim
n→∞ an = 0
= 2
an = sn − sn−1 → s − s = 0